Balistique : trajectoire des projectiles
La balistique étudie le mouvement des projectiles (balles, ballons, flèches, balles de tennis, etc.) depuis leur mise en mouvement jusqu’à leur retombée. On distingue classiquement :
- Balistique intérieure — mise en vitesse dans le lanceur.
- Balistique extérieure — vol dans l’air (notre sujet).
- Balistique terminale — l’impact et ses effets.
Ici, on se concentre sur un modèle de base sans frottements (air négligé), très utile pour comprendre les grandeurs clés avant d’ajouter la traînée, le vent, etc.
Modèle sans frottements
On lance un projectile avec une vitesse initiale $v_0$ sous un angle $\theta$ par rapport à l’horizontale (pesanteur $g = 9.81\;\mathrm{m\cdot s^{-2}}$). En posant l’origine au point de tir :
$$x(t) = v_0\cos(\theta)t \qquad y(t) = v_0\sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2.$$
Le mouvement est uniforme en $x$ (pas d’accélération horizontale) et uniformément accéléré en $y$ (accélération $-g$).
Grandeurs utiles
Temps de vol (retour au sol $y=0$) : $$T = \frac{2v_0\sin(\theta)}{g}.$$
Hauteur maximale : $$H = \frac{v_0^{2}sin^{2}(\theta)}{2g}.$$
Portée (distance horizontale) : $$R = \frac{v_0^{2}\sin(2\theta)}{g}.$$ Dans ce modèle, la portée est maximale pour $\\theta = 45^{\circ}$.
Effet de l’angle de tir
Deux angles complémentaires $\\theta$ et $90^{\circ}-\\theta$ donnent la même portée $R$ (sans frottements), mais des hauteurs maximales différentes.
En pratique, dès que la traînée de l’air compte, la portée optimale est inférieure à $45^{\circ}$ et dépend de la vitesse, de la forme et de la masse du projectile.
Vitesses & énergie
La vitesse horizontale reste constante $v_x = v_0\\cos\\theta$, alors que $v_y(t) = v_0\sin(\theta) - gt$ décroît linéairement. L’énergie mécanique (cinétique + potentielle) se conserve ici (pas de frottements) :
$$E_m = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) + m g y = \text{constante}.$$
Et avec la traînée de l’air ?
Un modèle simple ajoute une force de traînée proportionnelle à la vitesse $\vec F_D = -k\vec v$ (ou plus réaliste, proportionnelle à $v^2$). Les équations deviennent non linéaires et la portée diminue, surtout à grande vitesse.
La simulation actuelle montre le cas sans traînée (idéal) pour fixer les idées. On pourra étendre plus tard au modèle avec frottements.
À expérimenter
- Fixe $v_0$ et varie $\theta$ : mesure $R$ et repère l’angle optimal.
- Double $g$ (autre planète) : observe l’effet sur $T$, $H$, $R$.
- Compare deux tirs $\theta$ et $90^{\circ}-\theta$ : même portée, hauteurs différentes.
Sources
- Notes de cours de mécanique — lycée (cinématique, chute libre, projectile).
- Serway & Jewett, Physics for Scientists and Engineers, sections sur le mouvement 2D.
- Khan Academy — Projectile motion (rappels et exercices).
- Wikipedia (FR/EN) — Mouvement parabolique, Projectile motion (pour schémas et formules de base).